46、数学危机之集合论（1/1）

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如果说微积分是关于无穷小演算的规则，那么集合论处理的一般是无穷大量。集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末提出的，而集合论的观点几乎影响了整个二十世纪的数学。在集合论的基础上，结构数学与元数学被构造出来，并产生了丰富的结果。对于集合，特别是无穷集合的深入理解，让我们发现，无穷大量也可以作为数学对象进行讨论。无穷集合有许多有限集合不具备的独特性质，例如，自然数与自然数的平方可以一一对应，一条长的线段与一条短线段之间可以建立一一对应，无限长的直线或曲线可以与线段上的点一样多，甚至高维空间中所有的点与一条线段上的点也是一样多。但如果认为所有的无穷大都是一样的，那也是不对的，因为康托尔证明，一个无限集合与它的幂集不能构成一一对应。实数集合是自然数集合的幂集，因此实数的个数比自然数大得多，而实数的幂集可以与任意图形或任意函数的数量一一对应，它又比实数的数量多得多，这些关于无穷大的结论显然是违反直觉的，因此它们只能通过理性与逻辑来理解和把握。对无穷集合的这种分类为二十世纪数学的发展起到了重要的作用。

以集合论为基础的现代数学产生了丰富的内容，作为二十世纪数学代表的结构数学与元数学，其研究对象是从自然对象中抽象出来的，像群论、环论、域论、格论、各种各样的抽象空间、拓扑、流形、公理集合论、递归论、证明论、模型论等，在各种各样的应用场合以及纯数学领域产生了深远的影响。这样一个包罗万象的理论，似乎可以用来统一数学，形成一整套数学家们梦寐以求的自洽的逻辑体系，但是罗素的发现打碎了这一美梦。

罗素构造了一个集合，这个集合由一切不属于自身的集合构成，那么这个集合是否属于自身呢？对这个问题的追问会引发逻辑矛盾，因为如果属于自身，根据定义可证明它不属于自身，同样如果它不属于自身，根据定义，它又属于自身。罗素的悖论推理过程极为简单，而且只涉及集合与逻辑的基础概念，正因为简单，所以非常难缠。就像有人说，我说的这句话是谎话。如果认为他说谎，可以证明他说的是真话，如果认为他说的是真话，那这句话又成了谎话。数学家们希望通过缩小集合论的一些定义与建立一些新的规定，一方面可以将一些会引起悖论的病态集合排除出去，另一方面又能保证不会将范围缩的太窄，可以将集合论中一切有价值的结论保留下来。数学家们在经历了早期的混乱之后很快成功了，策梅洛和弗兰克尔改造了康托尔的集合论，提出了一套被称为公理化集合论的理论，即现在的ZF公理系统。

第三次数学危机算是度过了，但是我们仍然有一些遗憾，ZF公理体系排除悖论的方式，显然是通过限制康托尔集合的宽泛范围做到的，这似乎不利于数学的开疆拓土。实际上，在文学家与物理学家看来，数学家们好像有些大惊小怪了。文学家作品中出现一句我说的这句话是谎话，是一件很正常的事情，文学家们很少去认真仔细的分析逻辑，而更愿意去使用一种带着某些模糊性的日常语言。强大的逻辑思维在他们看来是智商高情商低的表现，不利于文学创作，而且他们的读者群也基本不会去看那些逻辑思维严密的数学或科学专著。作为数学家的罗素最终获得了诺贝尔文学奖，估计也会让他的数学家同行们大跌眼镜吧。而对于近代的物理学家，他们看待类似罗素悖论的问题也有了一套属于自己的合理逻辑。许多时候我们说某个元素要么属于一个集合，要么不属于这个集合是在不知不觉中使用了排中律，它让我们误以为已经穷尽了所有的可能性。从物理学家的经典电子干涉实验就会发现这种直觉的不可靠程度，如果电子从上缝穿过，屏幕上方会出现亮条纹，从下缝穿过，屏幕下方有亮条纹，如果有的走上缝，有的走下缝，屏幕上会有两条亮条纹，但是实际上，屏幕上是许多亮条纹组成的干涉图案。当我们听到别人说，你要么这样做，要么那样做，请选择吧，这时候最好先冷静下来，想想他有没有给你列出所有的可能。这个被称为数学家拳击手套的排中律，或许是问题的所在，一个元素除了属于某个集合或不属于某个集合之外，或许真的存在既属于该集合又不属于该集合的“叠加态”。

在现实世界里，或许真的存在大量的概念，它们无法用精确的语言描述，因为它们本身具有某种不确定性，从而只能用相对模糊的语言来表达和理解它们。如果直觉不够可靠，我们可以求助于逻辑方法，如果逻辑方法出现了问题，我们就需要寻找一个能够包容更多现象的逻辑。毕竟，逻辑规则也是从现实和经验中抽象出来的，它的可靠程度需要通过不断的验证实现。在通往完美自洽理论的逻辑之路上，我们没有多少经验好借鉴，必定会走很多的弯路，在黑暗中不断的探索，直到找到那个出口。

如今的数学可以说已经度过了三次数学危机，至于解决问题的方案是否令人满意，则是见仁见智了。科学发展的历史经验告诉我们，即使是看上去非常完美的理论和逻辑，也总会在某个时候出现理论体系之外的新东西，折磨着我们追求完美的心理。或许在不久的将来，对某个不起眼的问题的讨论，会发现现有理论与逻辑的新的漏洞，并引发第四次数学危机。大自然可能并无恶意，但他的确是狡黠的，他喜欢将真理视为珍宝珍藏起来不轻易示人，等待人们花费巨大的精力和智慧去寻找那些知识的宝藏。